Методика та організація наукових досліджень

6.6. Апроксимація результатів експериментальних досліджень

Поняття апроксимації. Процес одержання на основі результатів експериментальних досліджень математичної залежності у=f(х), яка з достатньою точністю відтворює досліджувану закономірність у = f(х), називається апроксимацією. Функціональні залежності, одержані способом апроксимації експериментальних даних, називаються емпіричними.

Емпірична залежність у=f(х) по суті є математичною моделлю процесу дослідження, результати якої дійсні тільки в межах зміни аргументу, тобто в інтервалі варіації факторах1, х2, ..., хк.

Необхідність в емпіричних залежностях виникає тоді, коли аналітичні залежності вважаються складними і вимагають громіздких обчислень для практичного використання або ж тоді, коли аналітичні залежності взагалі відсутні. Можна вважати, що емпіричні залежності - це наближене виявлення аналітичних, а процес апроксимації - спосіб заміни складного або неможливого процесу одержання точних аналітичних виразів [65].

Виконання апроксимації результатів експериментальних досліджень складається з двох основних і послідовних етапів, а саме:

1. етап - вибір загального вигляду типової функціональної залежності (апроксиманти);
2. етап - розрахунок числових значень параметрів (коефіцієнтів) апроксиманти.

Вибір загального вигляду рівняння апроксимації. Для того, щоб з´ясувати, до якого класу функцій належить шукана апроксиманта у=f(х), необхідно звернутись до графічного зображення результатів експерименту. Графік будується в декартовій системі координат х і у. Значення фактора відкладаються на осі абсцис, значення параметра оцінки - на осі ординат, а власне результати позначаються точками.

З´єднавши точки прямою 1, одержують графік результатів експерименту. Якщо відмітити серединні точки кожного з відрізків, то через них можна провести пряму 2 (або криву), яка буде приблизним уявленням графіка шуканої апроксиманти.

Далі порівнюють отриманий графік з графіками типових функцій і обирають загальний вигляд рівняння апроксиманти, яке буде найбільш подібно описувати досліджувану залежність.

Методи визначення коефіцієнтів апроксиманти. Після вибору загального вигляду апроксимуючої функції переходять до розрахунку числових значень її коефіцієнтів. Залежно від типу обраної функції та вимог щодо точності результатів розрахунку застосовують такі методи:

- графічний метод;

- метод середніх;

- метод найменших квадратів.

Графічний метод застосовується для лінійних функцій та функцій, що зводяться до лінійних методом вирівнювання.

Вирівнюванню підлягають такі залежності, як гіперболічна, показникова, степенева, логарифмічна та ін.

Метод середніх завдяки своїй простоті дозволяє у більшості випадків замінити громіздкий метод найменших квадратів і одержати достатньо задовільні за точністю результати. Цей метод полягає у тому, що після того як визначено тип функції й виконано, в разі необхідності, вирівнювання, одержують лінійну залежність типу: У=b₀ + b₁Х. На основі одержання залежності, підставляючи значення X та У з кожного досліду, складають умовні рівняння, число яких дорівнює кількості дослідів N.