Методика та організація наукових досліджень

3.2. Сучасні методи теоретичних досліджень

До основних загальнонаукових методів, які використовуються на теоретичному рівні дослідження, можуть бути віднесені методи: аналізу та синтезу, індукції і дедукції, сходження від абстрактного до конкретного, ідеалізації та формалізації, аксіоматичний метод, системний підхід [13].

Аналіз - метод наукового дослідження шляхом розкладання предмета на складові, тоді як синтез - це поєднання отриманих під час аналізу частин у ціле. Методи аналізу та синтезу в науковій творчості органічно пов’язані між собою і можуть набувати різних форм залежно від властивостей досліджуваного об’єкта, мети дослідження, ступеня пізнання об’єкта, глибини проникнення в його сутність [76, с. 95].

Метод сходження від абстрактного до конкретного є загальною формою руху наукового пізнання - це відображення дійсності в мислені. Згідно з цим методом процес пізнання ніби розпадається на два відносно самостійні етапи: перший етап - від чуттєво-конкретного до його абстрактних визначень; другий етап - сходження від абстрактних визначень об’єкта до конкретного у пізнанні.

Дедуктивною називають таку розумову конструкцію, в якій висновок щодо якогось елементу множини робиться на підставі знання загальних властивостей всієї множини. Змістом дедукції як методу пізнання є використання загальних наукових положень при дослідженні конкретних явищ.

Під індукцією розуміють перехід від часткового до загального, коли на підставі знання про частину предметів класу робиться висновок стосовно класу в цілому. Дедукція та індукція - взаємно протилежні методи пізнання.

Метод ідеалізації - конструювання подумки об’єктів, яких немає в дійсності або які практично нездійсненні. Мета ідеалізації: позбавити реальні об’єкти деяких притаманних їм властивостей і наділити (подумки) ці об’єкти певними нереальними і гіпотетичними властивостями.

Формалізація - метод вивчення різноманітних об’єктів шляхом відображення їхньої структури в знаковій формі. Вона забезпечує узагальненість підходу до вирішення проблем; символіка надає стислості та чіткості фіксації значень; однозначність символіки; діє змогу формувати знакові моделі об’єктів і замінювати вивчення реальних речей і процесів вивчення цих моделей [69, с. 76].

Аксіоматичний метод - метод побудови наукової теорії, за якою деякі твердження приймаються без доведень, а всі інші знання виводяться з них відповідно до певних логічних правил.

Системний аналіз - вивчення об’єкта дослідження як сукупності елементів, що утворюють систему. У наукових дослідженнях він передбачає оцінку поведінки об’єкта як системи з усіма факторами, які впливають на його функціонування [65, с. 33].

Виконати теоретичні дослідження означає спробувати розв´язати поставлене завдання теоретичним шляхом. Тому в багатьох випадках виконання теоретичних досліджень зводиться до складання і розв´язання математичної задачі, яка базується на конкретних фізичних законах зміни процесів і явищ. Із цієї точки зору фізичні закони можна розділити на дві групи:

- закони збереження (енергії, заряду, імпульсу та ін.);

- закони руху (механічного, електричного, теплового та ін.).

На основі законів статики (першої групи) складаються рівняння балансу, а на основі законів другої групи - рівняння руху, тобто динаміки, які описуються диференціальними рівняннями.

Математична підготовка спеціаліста, який хоче самостійно виконувати теоретичні дослідження технічних процесів, повинна бути досить високою. Поряд з класичними розділами математичного аналізу для дослідження процесів часто застосовують сучасні розділи математики: лінійне, нелінійне, динамічне програмування, теорію гри і статистичних розв´язків, теорію масового обслуговування, метод кінцевих елементів, теорію катастроф та ін.

У найскладніших випадках, коли процеси дослідження та їх результати залежать від великого числа факторів, які складно взаємодіють між собою, аналітичні методи взагалі неприйнятні. Тоді застосовують метод статистичного моделювання (Монте-Карло). Ідея цього методу полягає у тому, що процес дослідження відтворюється на ЕОМ з усіма випадковостями, що його супроводжують.

Метод статистичного моделювання, відомий під назвою «метод Монте-Карло», - це числовий метод розв´язування математичних задач за
допомогою моделювання випадкових величин. Датою народження методу Монте-Карло вважають 1949 р., коли з´явилася стаття під назвою «The Monte Carlo method». Автори цього методу - американські математики Дж. Нейман і С. Улам, хоча теоретична основа цього методу була відома давно. Навіть деякі задачі статистики іноді розраховували за допомогою випадкових вибірок, тобто фактично «методом Монте-Карло». Для кращого розуміння методу розглянемо такий приклад. Нехай нам треба визначити площу плоскої фігури S. Це може бути будь-яка фігура, обмежена криволінійними або прямолінійними контурами (рис. 3.1). Розташуємо цю фігуру в квадрат зі сторонами 1х1 у системі координат. Оберемо у середині квадрату N випадкових точок [46].

Позначимо через N число точок , що потрапили в середину фігури S. Г еометрично очевидно, що площа S наближено дорівнює відношенню N/N. Чим більше N, тим більша точність цієї оцінки. У прикладі, що зображений на рис. 3.1, обрали 40 випадкових точок. З них 12 точок виявилися в середині фігури S. Отже, відношення N /N буде 12/40=0,3, а фактична площа фігури S = 0,35.

Перша особливість цього методу - простота алгоритму. Як правило, складають програму для одного випробування (у нашому прикладі треба обрати випадкову точку в квадраті й перевірити чи належить вона фігурі S). Потім цей дослід повторюють N разів, при цьому кожен дослід не залежить від інших. За результатами дослідів визначають середні величини, тому цей метод одержав іншу назву - «метод статистичних випробувань».

Звідси видно, що для того, щоб зменшити похибку у 10 разів (інакше кажучи, щоб отримати у відповіді ще один вірний десятковий знак), треба збільшити N у 100 разів. Звичайно, домогтися високої точності таким шляхом неможливо. Тому вважають, що метод Монте-Карло особливо ефективний для задач, де результат може бути невисокої точності (5... 10%).

Дискретні та безперервні випадкові величини.

Випадковою подією називають таку подію, котра за здійснення деяких умов може відбутися або не відбудеться.

Досвід показує, що коли число випробувань у кожній серії невелике, то відносні частоти появи події А у кожній серії можуть істотно відрізнятися. Але коли число випробувань у серіях велике, то відносні частоти перестають носити випадковий характер і наближаються до одного сталого числа, котре називають імовірністю появи випадкової події А.

Отже, за необмеженого збільшення числа випробувань відносна частота події А зводиться до імовірності р появи цієї події: Якщо випадкова подія А є цифровою величиною, то її називають випадковою величиною, і вона також характеризується імовірністю. Випадкова величина £ називається дискретною, якщо вона може набувати дискретної множини значень (х₁, х₂,..., х_n).

Крім дискретних (фіксованих, роздільних) випадкових величин, розрізняють неперервні випадкові величини. Будемо називати випадкову величину £ неперервною, якщо вона може набувати будь-якого значення на певному інтервалі (а, b). Прикладом неперервних величин будуть розміри партії деталей, виготовлених у межах допуску; час напрацювань на відмову вузлів, деталей; час відновлення машин та ін. [46].

Неперервна випадкова величина £ визначається заданням інтервалу (а, b), що містить можливі значення цієї величини, і функцією р(х), яка називається густиною ймовірностей випадкової величини £ (або густиною розподілу £).

Рівномірно розподілена на інтервалі (0, 1) величина у використовується для розігрування випадкових величин за методом Монте-Карло.